Calculando la Entropía de Entrelazado a partir de Funciones de Correlación

En física, especialmente en mecánica cuántica, entender cómo las partes de un sistema se relacionan entre sí es crucial. Esto es particularmente cierto para sistemas de muchas partículas, como los que están hechos de fermiones, que son partículas como los electrones que siguen reglas de comportamiento específicas. Un concepto importante en este área es la "Entropía de entrelazamiento", una medida de lo entrelazados que están los estados de diferentes partes de un sistema.

Este artículo va a discutir cómo podemos calcular la entropía de entrelazamiento al examinar las Funciones de correlación de fermiones que interactúan. Las funciones de correlación describen cómo las partículas en un sistema influyen unas a otras, y nos proporcionan una base para calcular la entropía de entrelazamiento sin necesidad de conocer el estado cuántico completo del sistema.

#Antecedentes sobre Estados Cuánticos y Correlaciones

En un estado cuántico de muchas partículas, la información no solo se mantiene localmente; se distribuye en diferentes áreas del sistema. Al analizar estos sistemas, a menudo es práctico dividirlos en partes, digamos parte A y parte B. Al enfocarnos en una parte mientras ignoramos el resto, podemos crear una matriz de densidad reducida (RDM) para nuestro subsistema elegido. La RDM nos permite entender las propiedades observables de esa parte, pero también nos lleva al concepto de entrelazamiento.

Si la RDM corresponde a un estado cuántico puro, se dice que el estado total es separable. Pero si no, se considera que el estado está entrelazado. El entrelazamiento es esencial en muchas áreas de la física, incluyendo información cuántica, física de agujeros negros y sistemas de materia condensada. La entropía de entrelazamiento es una medida útil de este fenómeno, revelando mucho sobre la estructura y comportamiento subyacentes del sistema.

#El Desafío de Calcular la Entropía de Entrelaazamiento

Calcular la entropía de entrelazamiento puede ser bastante complejo. Un método común implica encontrar el estado cuántico completo y calcular la RDM a partir de él, pero esto requiere una inmensa cantidad de información, a menudo poco práctica para sistemas grandes. En muchas situaciones prácticas, los físicos solo pueden acceder a información limitada sobre el sistema, generalmente solo unas pocas funciones de correlación de partículas.

Aquí es donde entra la idea de calcular la entropía de entrelazamiento a partir de funciones de correlación. Si tenemos una forma efectiva de relacionar la entropía de entrelazamiento con funciones de correlación, podemos hacer estimaciones significativas incluso cuando nos falta el estado cuántico completo.

#Un Nuevo Enfoque para la Entropía de Entrelaazamiento

El objetivo principal de este trabajo es proporcionar un método para calcular la entropía de entrelazamiento de Rényi de un sistema fermiónico utilizando el conocimiento de las funciones de correlación. Consideramos sistemas de fermiones que pueden interactuar, y los tratamos usando un enfoque específico de teoría de campos llamado Formalismo de Schwinger-Keldysh.

En este enfoque, representamos la entropía de entrelazamiento como una energía libre de un sistema hecho de réplicas, o copias, del sistema original. Estas réplicas están interconectadas a través de corrientes que existen solo en las partes del sistema que nos interesan. La ventaja de este método es que nos permite usar técnicas estándar de la teoría de campos para calcular la entropía de entrelazamiento, evitando la necesidad de condiciones de frontera complicadas.

#Entendiendo el Montaje

El montaje implica dividir un sistema fermiónico en dos regiones espaciales, A y B. Cada grado de libertad fermiónico en estas regiones puede ser pensado como residiendo en una red, haciendo las matemáticas más claras. Cuando miramos el subsistema A e ignoramos B, podemos trazar sobre los grados de libertad en B para llegar a la RDM para A.

La entropía de entrelazamiento (EE) puede luego derivarse de la RDM, y en este trabajo, buscamos relacionar esta EE con funciones de correlación que pueden ser más fácilmente calculadas o medidas.

#De la Energía Libre a la Entropía de Entrelaazamiento

Establecemos que la entropía de Rényi, que es una forma específica de medir el entrelazamiento, es en realidad la energía libre de un sistema replicado de fermiones. La energía libre se obtiene usando una teoría de campos de Keldysh, donde la interacción sucede entre las réplicas a través de corrientes locales. Esta interacción solo tiene lugar en el momento en que se realiza la medición.

Al reconocer la conexión entre la entropía de Rényi y la energía libre, proporcionamos una forma de estimar el entrelazamiento usando funciones de correlación. El método que proponemos no depende de los detalles de cómo llegamos a las funciones de correlación; podrían ser calculadas teóricamente, simuladas o incluso medidas en un experimento.

#Representación Diagramática

Una de las técnicas poderosas en física teórica es usar diagramas para representar interacciones y procesos complejos. Podemos representar las diferentes contribuciones a la entropía de entrelazamiento a través de una serie de diagramas. Cada diagrama corresponde a una forma particular de enlazar las funciones de correlación del sistema.

La idea clave es que no necesitamos calcular el estado completo del sistema; podemos enfocarnos en los correladores conectados de una y dos partículas, que transmiten las características esenciales del comportamiento del sistema. Esta simplificación nos permite crear un enfoque sistemático para construir la entropía de entrelazamiento basado en estos elementos más simples y relacionados.

#Extendiéndonos a la Entropía de Von Neumann

Aunque este artículo se centra en la entropía de Rényi, también discutimos cómo los métodos pueden ser extendidos a la entropía de von Neumann a través de un proceso llamado continuación analítica. Esto es importante porque la entropía de von Neumann es a menudo la medida de entanglement más comúnmente referenciada en sistemas cuánticos.

Para lograr esta transición, analizamos cuidadosamente las contribuciones al entrelazamiento y determinamos qué términos sobreviven cuando aplicamos la continuación analítica. Este proceso nos permite llegar a una fórmula útil que se relaciona de nuevo con el sistema original, incluso bajo la transición a la entropía de von Neumann.

#Implicaciones Prácticas

Las implicaciones de este trabajo son significativas tanto para físicos teóricos como experimentales. Al vincular la entropía de entrelazamiento con funciones de correlación, proporcionamos una herramienta que puede ser utilizada ampliamente en la física de muchas partículas. Este método permite a los investigadores estimar y calcular el entrelazamiento de manera confiable, incluso al tratar con sistemas cuánticos grandes o complejos.

Además, como nuestra formulación es flexible, puede acomodar diferentes enfoques para calcular funciones de correlación, ya sea teóricamente o mediante mediciones experimentales. Esto es particularmente útil en sistemas cuánticos controlados donde cálculos directos del estado cuántico completo son poco prácticos.

#Conclusión

En este estudio, hemos presentado un nuevo método para calcular la entropía de entrelazamiento en sistemas fermiónicos de muchas partículas utilizando funciones de correlación. Este enfoque aprovecha el formalismo de Schwinger-Keldysh y conecta el entrelazamiento con las ricas estructuras encontradas en las funciones de correlación. Al usar una representación diagramática, simplificamos el proceso de calcular el entrelazamiento y extendemos el marco para incluir tanto entropías de Rényi como de von Neumann.

A través de este trabajo, buscamos mejorar nuestra comprensión del entrelazamiento cuántico y proporcionar herramientas útiles para investigadores en varios campos de la física, fomentando una exploración más profunda de los sistemas cuánticos de muchas partículas. Con esta base sólida, futuras investigaciones pueden extender estas ideas aún más, explorando nuevos territorios en el entrelazamiento cuántico y la teoría de la información.