Was bedeutet "Knotoids"?
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Knotoids sind eine Art von knotenähnlicher Figur, die in zwei Dimensionen existieren kann, wie auf einer flachen Fläche, oder in drei Dimensionen, wie auf einem Ball. Im Gegensatz zu traditionellen Knoten, die Enden haben, die miteinander verknotet sind, können Knotoids freie Enden haben. Das macht sie interessant zu studieren, weil sie je nach Form und Verbindungen unterschiedliche Eigenschaften zeigen können.
Arten von Knotoids
Es gibt zwei Haupttypen von Knotoids: die auf einer flachen Fläche (der Ebene) und die auf einer gekrümmten Fläche (der Kugel). Knotoids auf der Kugel sind einfacher zu verstehen, weil es schon viele Werkzeuge gibt, um sie zu studieren. Knotoids in der Ebene sind jedoch komplizierter. Forscher finden weiterhin Wege, diese planar Knotoids zu klassifizieren.
Invarianten
Um Knotoids zu studieren, verwenden Wissenschaftler „Invarianten“. Das sind Merkmale, die helfen, einen Knotoid von einem anderen zu unterscheiden, selbst wenn sie ähnlich aussehen. Eine Möglichkeit, diese Merkmale zu finden, ist durch etwas, das Quandle-Färbungen genannt wird. Dabei werden Teile des Knotoids auf eine besondere Weise eingefärbt, was hilft, seine Form und Struktur zu verstehen.
Symmetrie und Eigenschaften
Wenn Forscher sich Knotoids anschauen, berücksichtigen sie auch deren Symmetrie, also wie die Form aussieht, wenn sie umgedreht oder rotiert wird. Einige Knotoids können invertiert werden, was bedeutet, dass sie auf links gedreht werden können. Andere haben vielleicht eine linkshändige oder rechtshändige Drehung, bekannt als Chiralität.
Mock Alexander-Polynom
Ein weiteres wichtiges Werkzeug beim Studieren von Knotoids ist das Mock Alexander-Polynom. Das ist eine Methode, um bestimmte Eigenschaften von Knotoids und deren Verallgemeinerungen zu beschreiben. Es hilft Forschern, verschiedene Arten von Knotoids und Linkoids zu identifizieren und zu klassifizieren, die ähnlich sind, aber einige Unterschiede haben.
Braidoid-Äquivalenz
Es gibt auch eine Verbindung zwischen Knotoids und Braidoids, die ähnlich wie Zöpfe sind. Forscher haben einen Weg entwickelt, um zu erkennen, ob zwei Knotoids äquivalent sind, indem sie sich deren Braidoid-Formen anschauen. Wenn zwei Knotoids durch eine Reihe von Braidoid-Bewegungen ineinander umgeordnet werden können, gelten sie als äquivalent.
Zusammenfassend sind Knotoids faszinierende Strukturen, die neue Denkweisen über Knoten und deren Eigenschaften in zwei und drei Dimensionen ermöglichen. Forscher tauchen weiterhin in ihre Merkmale und Beziehungen zu anderen knotenähnlichen Figuren ein.