幾何学の進化：新しい視点

約2300年前、ギリシャの数学者ユークリッドが今でも多くの人が学んでいる幾何学のシステムを作ったんだ。このシステムは、ポスチュレートや公理と呼ばれる一連の基本的なルールとアイデアに基づいていて、大体は明確で必要なものであると考えられていた。ただ、その中の一つのポスチュレートが混乱と議論を引き起こした。それが第五のポスチュレートで、これは直線が他の二本の直線を交差して、特定の量よりも小さい角度の和を作ると、その二本の線は無限に延長した場合、最終的に交わるっていうルールだ。

長い間、このポスチュレートは複雑さにもかかわらず異論なく受け入れられていた。ニュートンやガリレオみたいな有名な思想家も支持していたんだ。でも、19世紀になって、3人の数学者-ヤーノシュ・ボーリャイ、カール・フリードリッヒ・ガウス、ニコライ・ロバチェフスキー-がユークリッドのアイデアを独立に発展させ始めたんだ。

#幾何学を変える旅

ボーリャイ、ガウス、ロバチェフスキーの前にも、他の数学者たちが第五のポスチュレートの意味を考えようとした。一人はジロラモ・サッケリっていう数学者で、1660年代に活動していた。彼は第五のポスチュレートをよりわかりやすく再定義しようとしたけど、その試みは完全には成功しなかった。100年後、ドイツの弁護士フェルディナント・カール・シュヴァイカートが新しい種類の幾何学を提案したんだけど、「天体幾何学」って呼んでた。でも、本当に新しいアプローチが生まれたのはボーリャイ、ガウス、ロバチェフスキーの時だった。

#新しい幾何学とは？

この3人の数学者たちが提案した新しい幾何学は、線の振る舞い方がたくさんあって、ユークリッド幾何学での平行線だけじゃないってことを示唆していた。この新しい枠組みでは、多くの線が交わることなく並走することが可能だった。この概念は画期的で複雑で、角度や距離に関する新たな洞察をもたらした。

新しい幾何学では、三角形の角の和が180度に等しくなくてもよくて、辺の長さによって、角の和はこの基準よりも小さかったり大きかったりすることができる。

にもかかわらず、当時の多くの人々はこれを受け入れるのが難しかった。幾何学の変化は抽象的で、観察可能な宇宙とは合致しなかった。この新しい幾何学を受け入れようとしない理由は、日常生活での目に見える証拠が不足していたからだ。

#カール・フリードリッヒ・ガウス

最初の一人、カール・フリードリッヒ・ガウスは1777年に今のドイツで生まれた。彼はゲッティンゲン大学で学び、ヤーノシュの父であるファルカス・ボーリャイと友達になったんだ。このつながりが、友人同士での大事なアイデア交換につながり、将来の仕事に影響を与えた。

1804年、ファルカスがガウスに第五のポスチュレートに関するアイデアを送ったけど、ガウスはファルカスの証明の間違いを指摘した。後にガウスはシュヴァイカートの平行線に関する著作からインスパイアされ、非ユークリッド幾何学に関する考えがさらに形作られていった。彼は画期的な洞察を持っていたが、この新しい幾何学に関する特定の論文を公表することはなかった。

代わりに、彼は測地線や曲面に関する関連する概念を探求し、ボーリャイやロバチェフスキーと私的に連絡を取り合って彼らの貢献を称賛したけど、その推薦を公にすることはなかった。

#ニコライ・イワノビッチ・ロバチェフスキー

1792年にロシアのニジニ・ノヴゴロドで生まれたニコライ・ロバチェフスキーの学問の道はカザンに深く結びついていて、そこに新しい大学が設立されたばかりだった。ヨーロッパ中から来た教師たちの新しいアイデアが彼に大きな影響を与えた。

ロバチェフスキーは1826年にカザン大学で新しい幾何学を発表したけど、その作品は出版を拒否された。それでも彼は自信を失わず、執筆を続けた。彼は当時の学界から厳しい批判を受けたんだけど、多くの人は彼のアイデアが時代に先んじていると感じていた。

彼の初期の作品は、生前は無視されていたが、後の幾何学の議論や研究の基礎を築いた。いくつかの注目すべき作品を発表したけど、彼の死後やっと多くの貢献が正当に評価されるようになった。

#ヤーノシュ・ボーリャイ

3人の中で最も若いヤーノシュ・ボーリャイは、1802年に現在のルーマニアで生まれた。彼は早くから優れた数学の才能を見せて、10代の頃には高度なテーマをマスターしていた。父からの励ましにもかかわらず、ボーリャイは自分の仕事に対する認識を得るのに苦労した。

1824年、彼は第五のポスチュレートを証明する方法を発見したと主張したけど、父はそのアイデアを諦めるように促した。それでもボーリャイは思考を発展させ続けて、幾何学において重要な進展を遂げた。彼の画期的な仕事の多くは、生前には公表されなかった。

1831年、ファルカス・ボーリャイは自分の出版物にヤーノシュの発見を付録として含めたが、数学界からの反応は期待外れだった。ガウスのヤーノシュの仕事に対する落胆した返事は、ボーリャイの苦悩をさらに深めた。

ボーリャイは、自分のアイデアに似たものが他の人々に認められるのを見て絶望し、最終的には評価されないまま亡くなった。

#認識と遺産

ボーリャイ、ガウス、ロバチェフスキーの貢献は今では称賛されているけど、その認識は彼らの死後ずっと後にやってきた。彼らの仕事は幾何学のさらなる発展につながり、19世紀後半の数学者ゲオルク・フリードリッヒ・ベルンハルト・リーマンに影響を与え、リーマン幾何学を生み出した。

この新しい幾何学は20世紀にさらに重要になり、特にヘルマン・ミンコフスキーによって導入された時空の概念と共に。非ユークリッド幾何学は、特にアルバート・アインシュタインの一般相対性理論において宇宙の理解に不可欠な要素となった。

今日、ボーリャイ、ガウス、ロバチェフスキーの仕事は、数学や物理学の探求にインスピレーションを与え続けていて、彼らの発見の重要性を強調している。彼らの遺産は、画期的なアイデアが受け入れられるまでには時間がかかることがあるけど、知識の進化にとって重要であることを証明している。

彼らの物語は、異なる考えを持つことに挑む者たちが直面する課題や、偉大な革新が続く認識のプロセスの遅さを思い起こさせる。