Que signifie "Cohomologie d'Hochschild"?
Table des matières
- Importance en théorie de la déformation
- Application aux algèbres douces
- Algèbres tressées et cohomologie de Yang-Baxter
- Algèbres A-infinity douces
- Algèbres symétriques
- Opérateurs de Nijenhuis et treillis
- Conclusion
La cohomologie de Hochschild est un outil mathématique utilisé pour étudier des structures appelées algèbres. Les algèbres sont des collections d'objets qu'on peut additionner ou multiplier d'une certaine manière. Cette cohomologie aide à comprendre comment ces algèbres peuvent changer ou se déformer tout en gardant certaines propriétés.
Importance en théorie de la déformation
Dans la théorie de la déformation, on regarde comment de petits changements dans une algèbre peuvent mener à de nouvelles algèbres avec des caractéristiques similaires. La cohomologie de Hochschild fournit des infos sur ces changements et aide à les classifier, rendant plus facile de voir comment différentes algèbres peuvent être liées entre elles.
Application aux algèbres douces
Les algèbres douces sont des types spécifiques d'algèbres définies par certaines règles. On peut calculer la cohomologie de Hochschild pour ces algèbres, ce qui donne un aperçu de leur structure et de leur comportement, surtout dans des situations complexes comme les surfaces trouées, où certains points sont retirés.
Algèbres tressées et cohomologie de Yang-Baxter
Il y a aussi des algèbres avec des règles tordues supplémentaires connues sous le nom d'algèbres tressées. Elles incluent un opérateur qui introduit des propriétés supplémentaires. La cohomologie de Hochschild peut être combinée avec un autre type de cohomologie, appelée cohomologie de Yang-Baxter, qui étudie ces comportements tordus. Cette combinaison aide à classifier comment ces algèbres peuvent changer.
Algèbres A-infinity douces
Une autre classe, connue sous le nom d'algèbres A-infinity douces, bénéficie aussi de la cohomologie de Hochschild. Quand des conditions spécifiques concernant leur structure sont remplies, la cohomologie peut nous dire quelque chose sur leurs déformations possibles, offrant une vue plus claire de la façon dont elles peuvent varier.
Algèbres symétriques
Dans les algèbres symétriques, on se concentre sur des types spéciaux de changements ou de dérivations qui respectent certaines symétries. Cela mène à l'introduction d'une nouvelle cohomologie qui capture ces changements, apportant une nouvelle compréhension de la structure de l'algèbre et de ses connexions avec d'autres systèmes.
Opérateurs de Nijenhuis et treillis
La cohomologie de Hochschild peut aussi être appliquée à des structures plus complexes, comme les treillis, qui sont des arrangements avec des règles de multiplication spécifiques. En étendant la cohomologie à ces structures, on peut déterminer quand certaines opérations fonctionnent bien, assurant la compatibilité dans le cadre algébrique.
Conclusion
Dans l'ensemble, la cohomologie de Hochschild est un outil puissant en algèbre, aidant les mathématiciens à comprendre comment différentes structures algébriques se relient entre elles et comment elles peuvent changer au fil du temps. Ses applications couvrent divers types d'algèbres, révélant des connexions et des propriétés intéressantes qui pourraient autrement rester cachées.