Élargir la Décomposition Rapide aux Groupoïdes Étalés Tordus

Ce travail vise à étendre un concept connu sous le nom de décroissance rapide des groupes discrets à une structure plus complexe appelée Groupoïdes étales tordus. Ces groupoïdes ont une manière définie de mesurer leur taille, appelée fonction de longueur. La découverte principale montre que si un groupoïde étale est principal, avoir cette propriété de décroissance rapide revient à prouver qu'il a une Croissance polynomiale.

L'idée traditionnelle de décroissance rapide a d'abord été présentée pour des groupes constitués d'éléments distincts. Ce concept a été notamment défini par un mathématicien nommé Jolissaint. Il a trouvé que les groupes montrant une décroissance rapide partagent des propriétés avec des sous-groupes, des extensions et des groupes interagissant avec des espaces géométriques.

Un grand nombre de groupes respectent la norme de décroissance rapide, et au cours des dernières décennies, les chercheurs en ont identifié beaucoup d'autres qui correspondent également à cette classification. Une application importante de cette idée se trouve dans la géométrie non commutative, où elle a été utilisée pour confirmer que certains groupes satisfont à une conjecture cruciale concernant leur structure.

Différentes versions et analogues de décroissance rapide ont également été étudiés. Par exemple, la décroissance rapide radiale se concentre sur des fonctions qui restent constantes le long de formes sphériques. Une autre variante généralise la décroissance rapide pour les représentations de groupes sur différents espaces.

Au-delà des groupes, les chercheurs ont observé des propriétés de décroissance rapide dans des espaces métriques, et certains ont commencé à enquêter sur cette idée dans le contexte des groupes quantiques. Récemment, la propriété (RD) a été appliquée aux groupoïdes étales, permettant d'explorer de nombreux résultats utiles observés avec les groupes.

En plus d'établir la décroissance rapide pour les groupoïdes étales, cette étude montre que tous les exemples de groupoïdes avec cette propriété satisfont également à la croissance polynomiale. Notre travail introduit et définit une propriété semblable à la décroissance rapide pour ces groupoïdes étales tordus et illustre qu'à certaines conditions, la décroissance rapide et la croissance polynomiale sont équivalentes.

Le document est structuré en différentes sections, fournissant des informations fondamentales sur les groupoïdes, suivies des résultats principaux et d'une discussion sur d'autres propriétés de la décroissance rapide.

#Groupoïdes, Torsions et Leurs Algèbres

Pour commencer, nous définissons un groupoïde comme un type de structure mathématique qui ressemble à une petite catégorie où chaque morphisme, ou flèche, est invertible. Dans les discussions mathématiques, les groupoïdes sont souvent désignés par des lettres stylisées. L'espace unitaire d'un groupoïde se compose des objets dont proviennent les morphismes.

Nous définissons également les bis sections dans le contexte d'un groupoïde. Ce sont des sous-ensembles qui se comportent comme des ensembles ouverts et maintiennent certaines propriétés de mappage. Les bis sections jouent un rôle important dans la topologie des groupoïdes.

Poursuivant notre étude, regardons un type spécifique de groupoïde, connu sous le nom de groupoïde étale. Ce type est caractérisé par son image source étant une application locale. Cela signifie que nous pouvons penser à la structure du groupoïde d'une manière qui ressemble à la façon dont les espaces sont façonnés en termes topologiques.

Une action d'un groupoïde sur un espace consiste en une application qui satisfait diverses conditions, essayant essentiellement de verser la structure du groupoïde dans un autre espace tout en préservant ses propriétés.

En avançant, nous parlons des torsions sur les groupoïdes étales. Une torsion est un arrangement spécifique de groupoïdes qui nous permet de créer des connexions plus complexes et d'étendre la structure du groupoïde.

#Décroissance Rapide pour les Groupoïdes Étales Tordus

Dans cette section, nous abordons les propriétés fondamentales des Fonctions de longueur sur les groupoïdes, menant à la définition de la décroissance rapide pour les groupoïdes étales tordus. Une fonction de longueur sur un groupoïde est une application qui permet de mesurer la 'taille' des éléments à l'intérieur du groupoïde.

Nous introduisons le concept de continuité dans le contexte d'une fonction de longueur. Une fonction de longueur continue signifie que de petits changements dans l'entrée correspondent à de petits changements dans la sortie. Nous pouvons également comprendre la bornitude locale comme un moyen d'assurer que les longueurs restent gérables pour les groupes compacts.

Si un groupoïde satisfait certaines conditions, nous définissons une propriété appelée décroissance rapide. Spécifiquement, un groupoïde étale tordu est dit avoir cette propriété de décroissance rapide s'il répond à des critères mathématiques spécifiques qui correspondent aux caractéristiques du groupe.

L'objectif principal de ces définitions est de fournir un pont entre les travaux antérieurs réalisés sur les groupes discrets et les structures plus complexes observées dans les groupoïdes étales.

Ensuite, nous montrons que si un groupoïde satisfait la décroissance rapide pour une torsion, il le fera également pour d'autres torsions.

#Propriétés des Groupoïdes Principaux

Un groupoïde est qualifié de principal lorsque son espace unitaire est injectif, ce qui signifie qu'il ne propose aucune connexion supplémentaire entre différentes unités. Nous pouvons également introduire un concept connexe connu sous le nom de principal topologiquement, ce qui indique qu'un certain sous-ensemble d'unités est dense dans le groupoïde.

Nous montrons que les groupoïdes principaux ne présentent une décroissance rapide que lorsque leurs fonctions de longueur montrent une croissance polynomiale et remplissent certaines exigences de continuité. Cette découverte généralise certains résultats antérieurs liés à ce sujet.

Pour explorer la relation entre la croissance polynomiale et la décroissance rapide, nous introduisons l'idée d'estimer et de comparer les taux de croissance de diverses propriétés. En établissant des connexions à travers les techniques de preuve utilisées dans d'autres travaux, nous analysons comment ces propriétés interagissent et s'influencent mutuellement.

À travers les découvertes, nous révélons la relation étroite qui existe entre ces propriétés, montrant que si un groupoïde n'a pas de croissance polynomiale, il ne peut intrinsèquement pas posséder la propriété de décroissance rapide, établissant un lien clair entre croissance et décroissance.

#Résultats de Permanence

Dans la section finale, nous passons en revue certaines propriétés de permanence liées à la décroissance rapide. Nous nous concentrons spécifiquement sur la manière dont ces propriétés se transfèrent d'un groupoïde à d'autres en fonction des conditions existantes.

Tout d'abord, nous explorons comment les inclusions de groupoïdes peuvent maintenir la propriété de décroissance rapide. Cette observation aide à illustrer l'applicabilité plus large du concept de décroissance rapide, fournissant une compréhension plus profonde de son importance.

Ensuite, nous considérons les produits de groupoïdes étales et examinons s'ils peuvent hériter de la propriété de décroissance rapide de leurs composants. Bien qu'il reste incertain de savoir si tous les produits conserveront cette qualité, nous identifions des résultats partiels et des exemples où cela est effectivement le cas.

Au fur et à mesure que nous élargissons notre compréhension de ces interconnexions, nous clarifions l'impact des différentes actions de groupoïdes et comment elles se rapportent à la propriété de décroissance rapide. En nous appuyant sur des structures de preuve existantes, nous renforçons notre compréhension de la façon dont chaque élément s'ajuste ensemble.

Enfin, nous synthétisons nos découvertes, unissant tous les éléments de la décroissance rapide, de la croissance polynomiale et des groupoïdes étales dans un cadre cohérent. Cet aperçu complet met non seulement en avant l'importance de ces propriétés mathématiques, mais point également vers le potentiel d'exploration supplémentaire dans ce domaine.

En conclusion, l'étude de la décroissance rapide pour les groupoïdes étales principaux révèle des connexions profondes entre les propriétés algébriques et les structures géométriques. En élargissant le concept de décroissance rapide pour inclure les groupoïdes étales tordus, nous ouvrons la voie à de nouvelles idées sur le comportement de divers objets mathématiques, enrichissant notre compréhension à la fois de la théorie des groupes et de la topologie.