Nouvelles Perspectives sur la Thermodynamique des Trou Noirs

Cet article présente une nouvelle façon d'exprimer les Potentiels thermodynamiques dans les théories de gravité de Lanczos-Lovelock. Ces potentiels apparaissent dans des théories avec plusieurs couplages, où le ratio entre eux donne des longueurs spécifiques qui brisent l'invariance d'échelle. La méthode introduite ici, qui utilise l'espace de phase covariant, permet la construction de potentiels finis sans dépendre d'un contexte de fond.

Pour ce faire, l'analyse se concentre sur des systèmes de taille finie sous des conditions de frontière spécifiques et prend soigneusement en compte les contributions des frontières et des coins. Ces contributions sont cruciales car elles aident à assouplir les conditions strictes pour les grandeurs de l'espace de phase vues dans les travaux précédents. L'article applique cette nouvelle approche à la première loi de la thermodynamique pour les trous noirs stationnaires et développe une version de la formule de Smarr qui est valable pour les trous noirs statiques avec divers comportements à l'infini.

Le lien entre la gravité et la thermodynamique a été suggéré pour la première fois au début des années 1970, et son importance continue en physique théorique moderne est significative. Cette connexion peut sembler étrange dans la physique classique, mais elle commence à prendre forme lorsqu'on considère la nature quantique des champs. Les progrès dans ce domaine sont considérés comme essentiels pour comprendre comment la gravité et la physique quantique interagissent.

Cependant, les tentatives initiales de fusionner la relativité générale et la thermodynamique ont rencontré des complications en raison de leurs cadres différents. La relativité générale repose sur un puissant principe de symétrie appelé covariance générale, tandis que la thermodynamique est ancrée dans le cadre de la mécanique hamiltonienne, qui nécessite d'établir une direction temporelle préférée. Ce décalage explique pourquoi l'introduction du formalisme de l'espace de phase covariant a été une étape si importante, car elle permet à la perspective hamiltonienne de maintenir une covariance explicite.

La méthode de l'espace de phase covariant a été largement adoptée dans de nombreux domaines, des théories impliquant des systèmes gravitationnels à celles explorant les trous noirs. L'importance de cette méthode est particulièrement notable dans les théories généralement covariantes comme la relativité générale et a conduit au développement de diverses théories qui étendent la RG, presque toutes impliquant des trous noirs. Ces trous noirs semblent suivre des lois thermodynamiques similaires malgré leurs différences de caractéristiques physiques.

Une équation vitale dérivée de la première loi de la thermodynamique des trous noirs est la formule de Smarr. Cette équation relie la masse d'un trou noir à ses autres propriétés macroscopiques, telles que la surface et le moment angulaire. L'avantage de la formule de Smarr est qu'elle peut être appliquée même lorsque la forme d'une solution explicite est inconnue. Dans la relativité générale standard, la formule de Smarr est simple.

Cependant, des complications surviennent lorsque l'espace-temps inclut une constante cosmologique non nulle, car la simplicité de l'équation disparaît. De plus, développer une relation claire à partir de la première loi devient difficile. Ce problème revient à la rupture de l'invariance d'échelle introduite par la constante cosmologique. Un problème similaire se trouve dans les théories de Lanczos-Lovelock au-delà de quatre dimensions, qui impliquent des Lagrangiens de courbure plus élevés conçus pour maintenir des équations de champ du second ordre.

Dans ces scénarios, la masse est affectée par les ratios de couplages à travers des potentiels thermodynamiques spécifiques. Ces potentiels quantifient comment l'énergie globale, ou la charge de Noether, d'une solution change en réponse à des variations des couplages de la théorie. Ce travail offre un calcul simple de ces potentiels et de la formule de Smarr, se concentrant spécifiquement sur les théories de Lanczos-Lovelock.

Un autre défi dans les premières études sur l'espace de phase covariant était le traitement flou des effets de frontière. Pour définir des charges conservées à partir de leur action sur l'espace de phase, la plupart des chercheurs nécessitaient certaines quantités de frontière pour intégrer les variations de la forme symplectique. Reconnaître le rôle clé des frontières dans l'espace de phase covariant a conduit à des prescriptions claires pour les charges. Les recherches antérieures ont posé une base solide dans ce domaine, et ce travail tente d'étendre cette rigueur aux théories de Lanczos-Lovelock, qui ont jusqu'à présent posé des défis pour saisir complètement la thermodynamique des trous noirs.

La structure de cet article est la suivante : la première section introduit le formalisme de l'espace de phase covariant, établissant la terminologie et les concepts nécessaires. La deuxième section présente un aperçu des théories de Lanczos-Lovelock d'une manière adaptée à l'analyse de l'espace de phase covariant. La partie suivante introduit la première loi de la thermodynamique des trous noirs sous une forme différentielle dérivée de l'espace de phase covariant. Cette section la généralise également à des variations qui ne respectent pas les conditions de frontière.

Le cœur du travail est détaillé dans la section appliquant les techniques de l'espace de phase covariant aux théories de Lanczos-Lovelock pour dériver la formule de Smarr. Cette partie commence par une considération des solutions stationnaires de trous noirs sphériquement symétriques. Elle passe ensuite en revue les difficultés rencontrées lors de la construction de la formule de Smarr dans ces théories, en soulignant l'importance de reconnaître la rupture de l'invariance d'échelle.

L'article se termine par une description thermodynamique de ces solutions dans le contexte de la gravité quantique euclidienne, visant à justifier et vérifier les constructions théoriques développées. La convention utilisée tout au long est celle de la signature "majoritairement plus" pour l'espace-temps, qui fixe la norme des vecteurs temporels.

#Forme de l'espace de phase covariant

Les aspects clés du formalisme de l'espace de phase covariant seront présentés ici, basé sur une formulation moderne qui utilise le bicomplexe variationnel relatif. Cette approche a considérablement avancé notre compréhension de la gravité.

Dans cette étude, l'espace-temps est considéré comme une variété orientée connectée avec une topologie simple. L'hypothèse est que cette variété peut être divisée en hypersurfaces de Cauchy, résultant en une structure spécifique pour les frontières. La frontière est divisée en trois parties : latérale, désignée comme la frontière, et deux "couvercles". Il est important de noter que cette structure intègre des coins, qui seront importants pour aborder les termes de frontière.

Bien que l'accent soit mis sur le champ du tenseur métrique, le formalisme sera introduit de manière générale, en considérant un ensemble de champs. L'espace composé de toutes les configurations de champ, avec d'éventuelles contraintes à la frontière latérale, est appelé espace de configuration. L'espace des configurations valides conformes aux équations de champ est obtenu en interrogeant cet espace avec l'ensemble plus large des solutions aux équations de champ.

Un objectif central du formalisme est d'égaliser cet espace avec l'espace de phase canonique trouvé en mécanique classique. Chaque condition initiale, spécifiée sur une surface de Cauchy, correspond à une seule solution définie covariantement par l'extrémisation d'une action locale. L'espace de phase est alors naturellement pourvu d'une structure symplectique, permettant la définition de crochets de Poisson sans avoir besoin d'introduire une base canonique des variables de l'espace de configuration et des moments.

Le travail commence avec une théorie de champ local décrite par une action qui est invariante sous des changements des variables de champ, étant donné que certaines conditions sont remplies. Bien qu'il puisse sembler inutile d'inclure un lagrangien de frontière, il est généralement pas faisable d'étendre le lagrangien de frontière dans le volume de manière covariante. Par conséquent, ces ajustements sont maintenus.

En variant le lagrangien de volume par rapport aux champs et en appliquant l'intégration par parties, la forme du lagrangien de frontière devient apparente. La condition définissant le bon sous-ensemble de l'espace de configuration correspond aux solutions des équations de champ.

La variation du lagrangien de frontière doit être telle qu'elle annule les termes apparaissant sur les couvercles, et bien que cette annulation soit cruciale, elle n'a pas besoin d'être complète, car les dérivées totales n'affecteront que les coins, qui font également partie des couvercles.

Ainsi, la variation complète de l'action peut être dérivée, permettant d'identifier des formes spécifiques pour le potentiel symplectique de la frontière. Dans le contexte du bicomplexe variationnel, cette variation est vue comme une dérivée externe, conduisant à la formation d'une algèbre extérieure dans l'espace de configuration.

Le principe de moindre action exige que la variation de l'action disparaisse pour les solutions des équations de champ, ce qui signifie que le lagrangien de frontière doit être conçu pour garantir que sa variation annule les termes sur les couvercles qui apparaissent lors de l'application du théorème de Stokes à l'action. Cela résulte en l'identification de certaines projections et structures potentielles, permettant finalement la construction du courant symplectique.

L'existence de ce courant est cruciale, car il est fermé à la fois comme une -forme dans l'espace de phase et comme une forme d'espace-temps. Cela garantit que la forme symplectique peut être construite en intégrant le courant sur une tranche de Cauchy. Les propriétés établies garantissent que cette forme reste indépendante du choix spécifique fait pour la tranche.

L'utilité de ce formalisme est maximisée lorsque la théorie présente une invariance sous des transformations coordonnées générales. Les formes lagrangiennes dans cette étude doivent être covariantes sous un sous-ensemble spécifique de diféomorphismes. L'implication est que pour toute transformation générant un diféomorphisme dans ce sous-groupe, les lagrangians doivent se transformer équitablement sous les diféomorphismes de l'espace-temps et les actions correspondantes dans l'espace de configuration.

Cependant, il est critique de reconnaître que le simple fait d'avoir des lagrangians covariants n'est pas suffisant ; les diféomorphismes doivent également maintenir à la fois les équations de champ et les conditions de frontière. Ce besoin conduit à des contraintes supplémentaires sur le sous-groupe de transformations autorisées.

Étant donné ces considérations, il devient évident que toute symétrie continue de l'action correspond à un courant conservé. Ce courant peut alors être intégré sur une tranche spatiale, ce qui donne lieu à une charge conservée totale. De plus, la construction renforce la notion que la conservation de la charge est intimement liée aux conditions de frontière imposées sur le système.

Une réalisation significative de ce formalisme est que pour les théories covariantes, avec des restrictions spécifiques sur le groupe de diféomorphismes, la charge de Noether est effectivement une fonction hamiltonienne pour l'action induite dans l'espace de phase. Cette observation sous-tend la nécessité d'une compréhension plus généralisée des perturbations qui ne sont pas strictement dans l'espace de configuration défini, permettant une flexibilité dans l'exploration de différents scénarios physiques.

#Revue des théories de Lanczos-Lovelock

Dans la prochaine section, les théories de Lanczos-Lovelock sont brièvement introduites. L'objectif est d'appliquer le formalisme de l'espace de phase covariant pour étudier les trous noirs et la thermodynamique dans ce cadre théorique.

Les théories de Lanczos-Lovelock ont émergé comme une tentative de généraliser la relativité générale en découvrant l'ensemble le plus complet de lagrangiens qui donneraient des équations de champ du second ordre pour le tenseur métrique. La structure résultante consiste en une somme de termes avec des coefficients arbitraires.

La plupart des résultats dans ces théories sont indépendants pour chaque terme, donc la notation exclut souvent le symbole de sommation sauf si cela est explicitement requis. L'intérêt pour ces modèles a augmenté lorsqu'ils ont été identifiés comme décrivant la limite basse énergie des théories de cordes supersymétriques.

Pour illustrer les lagrangiens dans Lanczos-Lovelock, ils peuvent être séparés en un lagrangien de volume et une forme de volume de l'espace-temps. Les lagrangiens, construits à partir du tenseur de Riemann, apparaissent comme des polynômes homogènes. Les équations de champ expriment le tenseur d'Einstein généralisé, qui conserve la symétrie et est divergente.

Une caractéristique clé des théories de Lanczos-Lovelock est qu'elles maintiennent des équations de champ du second ordre même si l'action contient des termes de courbure d'ordre supérieur. Cela garantit une correspondance un à un entre les valeurs initiales du champ et ses dérivées sur le sous-manifold et les solutions aux équations de champ.

Pour que le principe variationnel soit valide, tous les termes de frontière qui ne sont pas annulés par les conditions de frontière doivent être supprimés. Dans cette étude, des conditions de Dirichlet sont imposées, conduisant à l'exclusion de termes indésirables dépendants des dérivées perpendiculaires à la frontière.

Le potentiel symplectique de volume joue un rôle crucial pour garantir que ces termes ne perturbent pas la structure variationnelle. Il fournit les ajustements nécessaires pour une description cohérente de la théorie et ses manifestations dans des scénarios physiques.

Le tenseur de Brown-York et le potentiel symplectique de coin sont également définis avec des relations claires aux propriétés de frontière et de courbure de la configuration de l'espace-temps. À leur tour, ces constructs fondamentaux aident à récupérer des résultats connus de la relativité générale tout en ouvrant la voie à une compréhension plus profonde des propriétés générales de la thermodynamique des trous noirs dans des dimensions supérieures.

#Thermodynamique des trous noirs

Trouver des solutions de trous noirs dans les théories de Lanczos-Lovelock s'est avéré difficile. Les premières solutions exactes étaient ancrées dans des considérations de supersymétrie à basse énergie. Une variété d'autres solutions a depuis été identifiée, mettant en évidence des jalons significatifs dans la compréhension des trous noirs de manière distincte dans des dimensions supérieures.

Une observation notable est que les jalons fondamentaux dans la compréhension des trous noirs ne conservent pas leur validité dans plus de quatre dimensions. Par exemple, bien que le théorème de Birkhoff tienne dans des contextes familiers, il ne se transpose pas à tous les cas dans des dimensions supérieures.

L'accent principal de cet article est mis sur les géométries de trous noirs stationnaires présentant des symétries de rotation et étant non extrêmes. Lors de la dérivation de la formule de Smarr, l'attention est spécifiquement accordée aux solutions statiques et sphériquement symétriques.

La première loi de la thermodynamique est dérivée en considérant de petites perturbations autour des trous noirs stationnaires. Pour ce faire, l'attention est portée sur les solutions des équations de champ qui possèdent un champ de vecteur Killing, ce qui correspond à une gravité de surface stable. Ce cadre permet de définir clairement l'énergie canonique et le moment angulaire liés à des diféomorphismes.

En utilisant la relation locale dérivée, plusieurs intégrales sont ensuite calculées, menant à des relations identifiables entre les charges canoniques et les quantités thermodynamiques bien établies telles que l'entropie. Une attention particulière est accordée à l'évaluation de la manière dont ces quantités interagissent dans des conditions spécifiques aux horizons du trou noir.

Les relations dérivées aboutissent collectivement à une compréhension plus large de la première loi de la thermodynamique spécifique aux trous noirs au sein des théories de Lanczos-Lovelock. Cependant, le traitement reste complexe, car il doit tenir compte des complexités des effets de taille finie et des conditions locales, surtout en ce qui concerne les conditions de frontière.

#Bris d'invariance d'échelle dans les théories de Lanczos-Lovelock

Cette section passe en revue les défis associés à l'extension de la formule de Smarr aux théories de Lanczos-Lovelock au-delà de la relativité générale standard, fournissant finalement une dérivation plus simple de la formule de Smarr à partir de la première loi de la thermodynamique des trous noirs.

Deux méthodes principales existent pour dériver la formule de Smarr dans la relativité générale. La première méthode intègre la première loi de la thermodynamique concernant les quantités macroscopiques modifiées par un changement d'échelle de longueur uniforme. La deuxième exploite la relation d'intégrale de Komar bien connue, qui repose principalement sur l'existence d'une quantité non triviale qui est divergente à l'état et qui donne des égalités entre les quantités observées sur différentes surfaces.

Cependant, les difficultés rencontrées dans l'application de ces méthodes aux théories de Lanczos-Lovelock génériques proviennent du bris de l'invariance d'échelle, comme noté pour la première fois dans des travaux antérieurs. Pour la relativité générale sans constante cosmologique, il est possible de définir la constante de Newton comme unité, menant à une théorie dépourvue de couplages dimensionnels.

Étant donné que la masse du trou noir, l'énergie et d'autres quantités ne dépendent que des échelles dynamiques sous des changements uniformes, les variations se comportent de manière directe. En ce sens, la formule de Smarr émerge organiquement comme un résultat des propriétés inhérentes aux fonctions homogènes. Cependant, cette correspondance nette ne s'étend pas aux théories de Lanczos-Lovelock plus génériques.

Le papier discute de la façon dont, malgré la complexité et la dimensionalité, le cadre thermodynamique étendu permet de mieux traiter le bris d'invariance d'échelle. Plus précisément, en permettant des variations qui impactent non seulement les champs physiques, mais aussi les couplages, on peut atteindre un équilibre approprié des quantités impliquées.

#Conclusion

Le travail présenté introduit une nouvelle approche pour analyser la thermodynamique des trous noirs dans le contexte des théories de Lanczos-Lovelock. Cette méthode clarifie la relation entre divers potentiels thermodynamiques et couplages, soulignant l'importance de considérer les frontières et les systèmes de taille finie.

La conclusion générale est qu'en s'appuyant sur le formalisme de l'espace de phase covariant, les structures compliquées inhérentes aux théories de Lanczos-Lovelock peuvent être efficacement abordées, menant à des insights significatifs sur la thermodynamique des trous noirs. L'espoir est que cette approche inspirera d'autres recherches et explorations tant en physique théorique qu'en compréhension de l'interaction de la gravité avec la thermodynamique.

Alors que les investigations se poursuivent, l'objectif est d'étendre les résultats pour englober une plus large gamme de types et de scénarios de trous noirs, permettant une compréhension plus complète de ces systèmes fascinants.