Bayes'sche CART-Modelle in der Versicherungsprämienfestlegung

Versicherung spielt eine wichtige Rolle dabei, Einzelpersonen und Unternehmen vor unerwarteten Risiken zu schützen. Wenn jemand eine Versicherung kauft, geht er eine Vereinbarung mit einer Versicherungsgesellschaft ein. Im Grunde verspricht die Versicherungsgesellschaft, für bestimmte Verluste zu zahlen, im Austausch für regelmässige Zahlungen, die Prämien genannt werden. Diese Prämien fair festzulegen ist entscheidend, da es sicherstellt, dass Versicherte entsprechend ihrem Risiko belastet werden.

Um die Prämien zu bestimmen, analysieren Versicherungsgesellschaften verschiedene Faktoren, die mit den Versicherten und den damit verbundenen Risiken zusammenhängen. Diese Faktoren helfen, sie in Gruppen mit ähnlichen Risikoniveaus zu kategorisieren. Genug genaue Preismodelle sind nötig, um Fairness und Transparenz zu gewährleisten.

In den letzten Jahren sind Klassifikations- und Regressionsbäume (CARTs) wegen ihrer guten Leistung und Verständlichkeit populär geworden. Dieses Papier konzentriert sich auf eine spezielle Art von CART, bekannt als Bayesian CART, die einen bayesianischen Ansatz für die Versicherungspreisgestaltung nutzt, insbesondere zur Modellierung der Häufigkeit von Ansprüchen. Durch die Einbeziehung von Vorinformationen und einer speziellen Stichprobentechnik zielt Bayesian CART darauf ab, eine bessere Risikoklassifizierung zu liefern und die Genauigkeit der Vorhersagen zu verbessern.

#Die Bedeutung genauer Versicherungspreisgestaltung

Genauigkeit in der Preisgestaltung ist in der Versicherung aus mehreren Gründen entscheidend. Erstens sorgt sie dafür, dass Versicherte fair basierend auf ihrem Risiko belastet werden. Wenn die Prämien zu niedrig sind, könnte die Versicherungsgesellschaft finanzielle Schwierigkeiten haben, wenn Ansprüche entstehen. Umgekehrt, wenn die Prämien zu hoch sind, könnte es sein, dass Versicherte woanders nach Versicherungsschutz suchen.

Zweitens baut ein transparentes Preismodell Vertrauen zwischen dem Versicherungsanbieter und seinen Kunden auf. Versicherer müssen klar kommunizieren, wie die Prämien ermittelt werden, was auch die Faktoren umfasst, die bei der Risikobewertung berücksichtigt werden. Wenn Versicherte verstehen, wie ihre Prämien festgelegt werden, sind sie eher zufrieden mit dem Schutz, den sie erhalten.

Zuletzt überwachen Regulierungsbehörden, wie die Preisgestaltung in der Versicherung gemanagt wird. Versicherer müssen sich an bestimmte Regeln halten, um Fairness zu gewährleisten und Diskriminierung gegen irgendwelche Gruppen von Versicherten zu vermeiden. Daher ist es nicht nur eine gute Geschäftspraxis, sondern auch eine rechtliche Anforderung, genaue und leicht verständliche Preismodelle zu haben.

#Einführung in Bayesian CART-Modelle

Bayesian CART-Modelle bauen auf traditionellen CART-Modellen auf, indem sie bayesianische Methoden integrieren. Die Idee ist, ein Modell zu schaffen, das nicht nur Risiken klassifiziert, sondern auch eine Möglichkeit bietet, Vorwissen über diese Risiken einzubeziehen. Einfach gesagt, nutzt Bayesian CART Informationen, die bereits bekannt sind, um Vorhersagen über zukünftige Ansprüche zu verbessern.

Der Ansatz basiert auf zwei Hauptkomponenten: der Vorab-Spezifikation und einer Methode namens Markov-Ketten-Monte-Carlo (MCMC). Die Vorab-Spezifikation beinhaltet die Wahl dessen, was bekannt ist, bevor man sich die neuen Daten anschaut. Dazu gehören allgemeine Annahmen darüber, wie oft bestimmte Arten von Ansprüchen auftreten. Die MCMC-Methode wird verwendet, um verschiedene Baumstrukturen auf Basis dieser Vorinformationen und der gesammelten Daten zu erkunden.

Eine häufige Herausforderung in der Versicherung ist, dass einige Arten von Anspruchsdaten viele Nullen haben, was bedeutet, dass viele Versicherte überhaupt keine Ansprüche geltend machen. Um dem entgegenzuwirken, kann Bayesian CART Modelle wie die null-inflationierte Poisson-Verteilung nutzen. Diese Art von Modell berücksichtigt die übermässigen Nullen und bietet gleichzeitig einen Weg zur Analyse der Ansprüche, die tatsächlich auftreten.

#Die Rolle von Vorwissen

In der bayesianischen Modellierung ist das Vorwissen entscheidend, weil es beeinflusst, wie das Modell aufgebaut wird und wie es Ergebnisse vorhersagt. Wenn ein Versicherer zum Beispiel aus früheren Erfahrungen weiss, dass Fahrer in einer bestimmten Altersgruppe tendenziell weniger Ansprüche stellen, kann diese Information in das Modell aufgenommen werden, um zukünftige Ansprüche ähnlicher Versicherter vorherzusagen.

Bei der Festlegung dieser Priors ist es wichtig, sicherzustellen, dass sie sinnvoll und auf tatsächlichen Daten basieren. Wenn die Priors nicht gut fundiert sind, können sie zu falschen Vorhersagen führen. Daher verwenden Versicherungsgesellschaften häufig historische Daten und statistische Methoden, um geeignete Priors für ihre Modelle zu bestimmen.

Die Stärke des Priors spielt auch eine Rolle dabei, wie sehr er die endgültigen Vorhersagen beeinflusst. Ein starker Prior hat einen erheblichen Effekt, während ein schwacher Prior es den Daten ermöglicht, die Vorhersagen mehr zu gestalten. Dieses Gleichgewicht ist entscheidend, da es hilft, ein Modell zu schaffen, das auf neue Daten reagiert, während es dennoch in etabliertem Wissen verankert ist.

#Analyse der Modellierung der Anspruchshäufigkeit

Die Modellierung der Anspruchshäufigkeit ist ein zentrales Element der Preisgestaltung in der Versicherung. Das Ziel ist es, vorherzusagen, wie viele Ansprüche über einen bestimmten Zeitraum basierend auf verschiedenen Risikofaktoren auftreten werden, wie den Merkmalen der Versicherten und den Arten des Versicherungsschutzes, den sie haben.

Traditionelle Methoden wie verallgemeinerte lineare Modelle (GLMs) wurden für diesen Zweck verwendet. GLMs konzentrieren sich auf eine lineare Beziehung zwischen Risikofaktoren und der Häufigkeit von Ansprüchen. Sie sind effektiv, können aber bei komplexeren Wechselwirkungen zwischen verschiedenen Faktoren Schwierigkeiten haben.

Andererseits können Bayesian CART-Modelle nichtlineare Beziehungen und Wechselwirkungen effektiver erfassen. Indem sie Daten in kleinere Gruppen basierend auf gemeinsamen Merkmalen aufteilen, können CART-Modelle einen klareren Blick darauf bieten, wie verschiedene Risikofaktoren die Anspruchshäufigkeit beeinflussen.

Die Verwendung dieser Modelle ermöglicht es Versicherern, Gruppen von Versicherten zu identifizieren, die ein höheres oder niedrigeres Risiko darstellen könnten. Zum Beispiel könnte eine bestimmte demografische Gruppe eine niedrigere durchschnittliche Anspruchshäufigkeit haben, was zu niedrigeren Prämien für diese Versicherten führen könnte.

#Umgang mit unausgewogenen Daten

Anspruchsdaten in der Versicherung kommen oft mit vielen Nullen, was bedeutet, dass viele Versicherte möglicherweise überhaupt keine Ansprüche geltend machen. Diese Ungleichheit kann es schwierig machen, die Häufigkeit von Ansprüchen genau vorherzusagen. Bayesian CART-Modelle, insbesondere solche, die Methoden wie die null-inflationierte Poisson-Verteilung verwenden, können helfen, dieses Problem zu managen.

Diese Modelle berücksichtigen die Präsenz übermässiger Nullen in den Daten. Sie bieten einen dualen Modellierungsansatz, der die Versicherten, die typischerweise keine Ansprüche stellen, von denen trennt, die es möglicherweise tun. Diese Unterscheidung ermöglicht genauere Vorhersagen über die Häufigkeit von Ansprüchen und erkennt gleichzeitig an, dass einige Versicherte möglicherweise keine Ansprüche geltend machen.

Dieser Umgang mit unausgewogenen Daten ist entscheidend, um faire Prämien festzulegen. Ohne die übermässigen Nullen zu adressieren, riskieren Versicherer, das Risiko, das mit bestimmten Versicherten verbunden ist, zu überschätzen, was zu höheren Prämien führen kann, die ihr tatsächliches Risikoniveau möglicherweise nicht genau widerspiegeln.

#Implementierung von Bayesian CART-Modellen

Um Bayesian CART-Modelle zu implementieren, wird häufig ein spezieller Algorithmus verwendet. Dieser Algorithmus verwendet MCMC-Methoden, bei denen eine Sequenz von Vorschlägen basierend auf sowohl dem Vorwissen als auch den verfügbaren Daten generiert wird. Diese Vorschläge werden dann auf der Grundlage bestimmter Kriterien akzeptiert oder abgelehnt, was zu einem endgültigen Modell führt, das die beobachteten Daten am besten widerspiegelt.

Während der Fortschritte des Algorithmus werden verschiedene Baumstrukturen erkundet, indem verschiedene Splits und Knoten getestet werden. Das Ziel ist es, den Baum zu finden, der die Häufigkeit von Ansprüchen basierend auf den verfügbaren Risikofaktoren genau vorhersagt.

Dieser iterative Prozess wird so lange fortgesetzt, bis das Modell Konvergenz erreicht, was bedeutet, dass sich die Ergebnisse mit zusätzlichen Iterationen nicht mehr signifikant ändern. Das Ergebnis des Modellierungsprozesses ist ein Baum, der leicht interpretiert werden kann und zur Vorhersage zukünftiger Ansprüche verwendet werden kann.

#Modellauswahl mit Deviance Information Criterion (DIC)

Ein wichtiger Schritt im Modellierungsprozess ist die Auswahl des besten Modells oder der besten Baumstruktur. Eine effektive Möglichkeit dafür ist die Verwendung eines Kriteriums, das als Deviance Information Criterion (DIC) bekannt ist. DIC bietet ein Gleichgewicht zwischen der Güte der Anpassung des Modells und seiner Komplexität.

Ein Hauptvorteil der Verwendung von DIC ist, dass es helfen kann, Modelle zu identifizieren, die nicht nur genau sind, sondern auch leicht zu verstehen. Im Kontext der Versicherung bedeutet dies, ein Modell auszuwählen, das klare und interpretierbare Ergebnisse liefert, während es die Häufigkeit von Ansprüchen genau vorhersagt.

DIC wird berechnet, indem die Wahrscheinlichkeit des Modells bewertet und die Anzahl der verwendeten Parameter berücksichtigt wird. Modelle mit niedrigeren DIC-Werten werden bevorzugt, da sie eine gute Anpassung mit weniger unnötigen Komplexitäten anzeigen.

#Analyse von Realdaten und Simulationen

Um die Effektivität von Bayesian CART-Modellen besser zu verstehen, werden häufig Simulationen und Analysen von realen Daten durchgeführt. Diese Analysen helfen zu veranschaulichen, wie gut die Modelle bei der Vorhersage der Anspruchshäufigkeit auf Grundlage historischer Daten abschneiden.

In Simulationen können Daten generiert werden, um reale Versicherungsszenarien nachzuahmen. Durch die Untersuchung verschiedener Konfigurationen und Risikofaktoren können Forscher bewerten, wie gut die Modelle die Beziehungen zwischen diesen Variablen und der Häufigkeit von Ansprüchen erfassen.

Echte Datenanalysen werden unter Verwendung tatsächlicher Anspruchsunterlagen von Versicherungsgesellschaften durchgeführt. Diese Unterlagen bieten Einblicke in die Muster der eingereichten Ansprüche und ermöglichen es, die Modelle gegen reale Ergebnisse zu testen.

Zusammen helfen Simulationen und Analysen realer Daten, die Effektivität von Bayesian CART-Modellen zu validieren und deren Fähigkeit zu bestätigen, genaue Vorhersagen für die Preisgestaltung in der Versicherung zu liefern.

#Fazit

Bayesian CART-Modelle stellen einen vielversprechenden Fortschritt im Bereich der Versicherungspreisgestaltung dar, insbesondere bei der Modellierung der Anspruchshäufigkeit. Durch die Nutzung von Vorwissen und fortgeschrittenen Stichprobentechniken helfen diese Modelle, die Genauigkeit und Transparenz der Preisgestaltung zu verbessern.

Indem sie Ungleichgewichte in den Anspruchsdaten adressieren, können sie einen nuancierteren Blick auf das Risiko der Versicherten bieten. Darüber hinaus sorgt die Einbeziehung von Methoden wie DIC dafür, dass Versicherer Modelle auswählen können, die nicht nur gut abschneiden, sondern auch interpretierbar sind.

Während die Versicherungsbranche sich weiterentwickelt, sind Modelle wie Bayesian CART entscheidend, um Fairness in der Preisgestaltung zu wahren und sicherzustellen, dass Versicherte angemessen basierend auf ihren Risikoniveaus belastet werden. Die fortlaufende Entwicklung dieser Modelle wird wahrscheinlich zu noch ausgeklügelteren Ansätzen in der Zukunft führen.