Erweiterung der schnellen Zerfalls zu verdrehten étale Gruppenoid

Diese Arbeit zielt darauf ab, ein Konzept namens schnelle Abnahme von diskreten Gruppen auf eine komplexere Struktur namens verdrehte étale Gruppoids zu erweitern. Diese Gruppoids haben eine definierte Möglichkeit, ihre Grösse zu messen, die als Längenfunktion bezeichnet wird. Die Hauptentdeckung zeigt, dass, wenn ein étales Gruppoid principal ist, das Vorhandensein dieser schnellen Abnahme-Eigenschaft dasselbe ist wie zu zeigen, dass es polynomielles Wachstum hat.

Die traditionelle Idee der schnellen Abnahme wurde erstmals für Gruppen vorgestellt, die aus unterschiedlichen Elementen bestehen. Dieses Konzept wurde bemerkenswert von einem Mathematiker namens Jolissaint definiert. Er fand heraus, dass Gruppen, die schnelle Abnahme zeigen, Eigenschaften mit Untergruppen, Erweiterungen und Gruppen teilen, die mit geometrischen Räumen interagieren.

Eine grosse Anzahl von Gruppen erfüllt den Standard der schnellen Abnahme, und in den letzten Jahrzehnten haben Forscher viele weitere identifiziert, die ebenfalls in diese Klassifizierung passen. Eine bedeutende Anwendung dieser Idee findet sich in der nicht-kommutativen Geometrie, wo sie genutzt wurde, um zu bestätigen, dass bestimmte Gruppen eine wichtige Vermutung bezüglich ihrer Struktur erfüllen.

Verschiedene Versionen und Analogien der schnellen Abnahme wurden ebenfalls untersucht. Zum Beispiel konzentriert sich radiale schnelle Abnahme auf Funktionen, die entlang sphärischer Formen konstant bleiben. Eine andere Variante verallgemeinert die schnelle Abnahme für Darstellungen von Gruppen in verschiedenen Räumen.

Über Gruppen hinaus haben Forscher schnelle Abnahme-Eigenschaften in metrischen Räumen beobachtet, und einige haben begonnen, diese Idee im Kontext von quanten Gruppen zu untersuchen. Kürzlich wurde die Eigenschaft (RD) auf étale Gruppoids angewandt, was die Erkundung vieler nützlicher Ergebnisse ermöglicht, die auch bei Gruppen zu sehen sind.

Neben der Etablierung der schnellen Abnahme für étale Gruppoids zeigt diese Studie, dass alle Beispiele von Gruppoids mit dieser Eigenschaft auch polynomielles Wachstum aufweisen. Unsere Arbeit führt eine und definiert eine schnelle Abnahme-ähnliche Eigenschaft für diese verdrehten étale Gruppoids und zeigt, dass unter bestimmten Bedingungen schnelle Abnahme und polynomielles Wachstum äquivalent sind.

Das Papier ist in verschiedene Abschnitte gegliedert, die grundlegende Informationen über Gruppoids bieten, gefolgt von den Hauptresultaten und einer Diskussion zusätzlicher Eigenschaften der schnellen Abnahme.

#Gruppoids, Verdrehungen und ihre Algebren

Zunächst definieren wir ein Gruppoid als eine Art mathematische Struktur, die einem kleinen Kategori ähnelt, in der jede Morphismus oder Pfeil umkehrbar ist. In mathematischen Diskussionen werden Gruppoids oft mit eleganten Buchstaben bezeichnet. Der Einheitsraum eines Gruppoids besteht aus den Objekten, von denen die Morphismen ausgehen.

Wir definieren auch Bissektionen im Kontext eines Gruppoids. Dies sind Teilmengen, die sich wie offene Mengen verhalten und bestimmte Abbildungseigenschaften beibehalten. Bissektionen spielen eine wichtige Rolle in der Topologie von Gruppoids.

Im Weiteren betrachten wir eine spezifische Art von Gruppoid, bekannt als étales Gruppoid. Diese Art ist dadurch gekennzeichnet, dass ihre Quellenabbildung eine lokale Homöomorphismus ist. Das bedeutet, dass wir über die Struktur des Gruppoids auf eine Weise nachdenken können, die der Form von Räumen in topologischen Begriffen ähnelt.

Eine Aktion eines Gruppoids auf einem Raum besteht aus einer Abbildung, die verschiedene Bedingungen erfüllt, im Wesentlichen versucht, die Gruppenstruktur in einen anderen Raum zu giessen und dabei ihre Eigenschaften zu bewahren.

Weiter geht's mit den Verdrehungen über étale Gruppoids. Eine Verdrehung ist eine spezifische Anordnung von Gruppoids, die es uns ermöglicht, kompliziertere Verbindungen herzustellen und die Gruppoid-Struktur zu erweitern.

#Schnelle Abnahme für verdrehte étale Gruppoids

In diesem Abschnitt sprechen wir über die grundlegenden Eigenschaften von Längenfunktionen auf Gruppoids, was zur Definition der schnellen Abnahme für verdrehte étale Gruppoids führt. Eine Längenfunktion auf einem Gruppoid ist eine Abbildung, die eine Möglichkeit bietet, die 'Grösse' von Elementen innerhalb des Gruppoids zu messen.

Wir führen das Konzept der Kontinuität im Kontext einer Längenfunktion ein. Eine kontinuierliche Längenfunktion bedeutet, dass kleine Änderungen im Eingang zu kleinen Änderungen im Ausgang führen. Wir können auch lokale Beschränkung als eine Möglichkeit verstehen, um sicherzustellen, dass Längen für kompakte Gruppen handhabbar bleiben.

Wenn ein Gruppoid bestimmten Bedingungen genügt, definieren wir eine Eigenschaft namens schnelle Abnahme. Insbesondere wird gesagt, dass ein verdrehtes étales Gruppoid diese schnelle Abnahme-Eigenschaft hat, wenn es spezifische mathematische Kriterien erfüllt, die den Eigenschaften der Gruppe entsprechen.

Das Hauptziel dieser Definitionen ist es, eine Brücke zwischen früheren Arbeiten über diskrete Gruppen und den komplexeren Strukturen, die in étalen Gruppoids zu sehen sind, zu schlagen.

Als nächstes zeigen wir, dass wenn ein Gruppoid die schnelle Abnahme für eine Verdrehung erfüllt, es dies auch für jede andere Verdrehung tun wird.

#Eigenschaften von principalen Gruppoids

Ein Gruppoid wird als principal bezeichnet, wenn sein Einheitsraum injektiv ist, was bedeutet, dass es keine zusätzlichen Verbindungen zwischen verschiedenen Einheiten bietet. Wir können auch ein verwandtes Konzept namens topologisch principal einführen, was bedeutet, dass einige Teilmengen von Einheiten dicht im Gruppoid sind.

Wir zeigen, dass principale Gruppoids nur dann schnelle Abnahme zeigen, wenn ihre Längenfunktionen polynomielles Wachstum zeigen und bestimmte Kontinuitätsanforderungen erfüllen. Diese Entdeckung verallgemeinert einige frühere Ergebnisse, die mit diesem Thema verbunden sind.

Um die Beziehung zwischen polynomiellen Wachstum und schneller Abnahme zu untersuchen, führen wir die Idee ein, die Wachstumsraten verschiedener Eigenschaften zu schätzen und zu vergleichen. Indem wir Verbindungen durch die in anderen Arbeiten verwendeten Beweis-Techniken herstellen, analysieren wir, wie diese verschiedenen Eigenschaften miteinander interagieren und sich gegenseitig beeinflussen.

Durch die Ergebnisse zeigen wir die enge Beziehung zwischen diesen Eigenschaften, wobei sich herausstellt, dass wenn ein Gruppoid kein polynomielles Wachstum hat, es zwangsläufig nicht die schnelle Abnahme-Eigenschaft besitzen kann, was eine klare Verbindung zwischen Wachstum und Abnahme herstellt.

#Permanenz-Ergebnisse

Im letzten Abschnitt überprüfen wir einige Permanenz-Eigenschaften, die mit schneller Abnahme verbunden sind. Wir konzentrieren uns speziell darauf, wie diese Eigenschaften von einem Gruppoid auf andere übertragen werden können, basierend auf bestehenden Bedingungen.

Zuerst untersuchen wir, wie Inklusionen von Gruppoids die schnelle Abnahme-Eigenschaft beibehalten können. Diese Beobachtung trägt dazu bei, die breitere Anwendbarkeit des Konzepts der schnellen Abnahme zu veranschaulichen und ein tieferes Verständnis ihrer Bedeutung zu vermitteln.

Als nächstes betrachten wir Produkte von étalen Gruppoids und untersuchen, ob sie die schnelle Abnahme-Eigenschaft von ihren Komponenten erben können. Während es unklar bleibt, ob alle Produkte diese Qualität behalten, identifizieren wir teilweise Ergebnisse und Beispiele, bei denen dies tatsächlich der Fall ist.

Während wir unser Verständnis dieser Zusammenhänge erweitern, klären wir den Einfluss verschiedener Gruppoid-Aktionen und wie sie mit der schnellen Abnahme-Eigenschaft zusammenhängen. Indem wir auf bestehende Beweisstrukturen zurückgreifen, stärken wir unser Verständnis darüber, wie jedes Teil zusammenpasst.

Schliesslich fassen wir unsere Erkenntnisse zusammen und vereinen alle Komponenten von schneller Abnahme, polynomiellen Wachstum und étalen Gruppoids unter einem kohärenten Rahmen. Diese umfassende Übersicht hebt nicht nur die Bedeutung dieser mathematischen Eigenschaften hervor, sondern weist auch auf das Potenzial für weitere Erkundungen in diesem Bereich hin.

Abschliessend zeigt die Untersuchung der schnellen Abnahme für principale étale Gruppoids tiefgreifende Verbindungen zwischen algebraischen Eigenschaften und geometrischen Strukturen auf. Indem wir das Konzept der schnellen Abnahme auf verdrehte étale Gruppoids ausweiten, ebnen wir den Weg für neue Einsichten in das Verhalten verschiedener mathematischer Objekte und bereichern unser Verständnis sowohl der Gruppentheorie als auch der Topologie.